Pérolas da Matemática

Hoje vamos a  post sobre pérolas da matemática. É muito engraçado o que as pessoas fazem pra dar aquela enrolada. Divirta-se!

Curiosidades da Matemática

Gente, olha que interessante esse post que vi no www.mundotosco.com.br, o site tem muita coisa bacana, vale a pena conferir!

Essa matemática é definitivamente chocante. Muito legal!

Pegadinhas Matemáticas

01. Você está dirigindo um ônibus que tem 40 pessoas. Desceram 10 e entra 1.000. Depois desceram 60 e subiram 2.000. Qual o nome do motorista?


02. Pense em qualquer número;

      Multiplique por 2;

      Adicione 14;

      Pegue o resultado e divida por 2;

      Pegue o resultado e diminua pelo número que você pensou.

      Por ventura, seu resultado foi 7 ?


03. Há um ônibus com 7 garotas, cada garota tem 7 sacolas, cada sacola há 7 gatos grandes, cada gato grande tem 7 gatos pequenos. Todos os gatos tem sete "pernas" cada um. Quantas pernas há no ônibus ?

04. Uma lesma está no fundo de um poço que tem 15 m de profundidade, e quer sair dele. Como lesma é lesma, ela sobre 4 m durante o dia e desce 3 m durante a noite. Em quantos dias ela conseguirá sair do poço ?

05. Tem 1000;
     Acrescenta 40;
     Acrescenta mais 1000;
     Acrescenta mais 30;
     Some outros 1000;
     Acrescente 20;
     Acrescente 1000 e ainda 10;

Qual é o total ?? Não vale usar a calculadora!

Respostas

01. O seu próprio nome, afinal, é você que está dirigindo.

03. 56 gatos*49 sacolas = 2744 pernas. Cada gato com 4 pernas cada: 2744*4 = 10976 "pernas de gatos". Somamos 10976 e 14, pois temos 7 garotas: 10976+14=10990 pernas!

04. Em 12 dias ela conseguirá sair do poço.
      Subindo 4m por dia e descendo 3 à noite, no décimo primeiro dia já terá subido 11 metros.
Um dia depois, no décimo segundo dia, subindo mais 4m chegará à boca do poça, somando 15m, e não terá porque continuar a descer.

05. Se a sua soma deu 5000, está errada. O resultado verdadeiro é 4.100. Mas isso acontece porque nosso cérebro confunde as casas decimais. Depois que você já sabe do resultado, sempre vai dar 4.100. Agora tente na calculadora!

via: mundotosco.com.br

Cilindros - Parte 02

VOLUME DE UM CILINDRO

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura, V=Ab.h;

Se a base é um circulo de raio R, e PI = 3, 141593..., então: V=PI.R².h;

ÁREA LATERAL DE UM CILINDRO

Em um cilindro circular reto, a área total é dada por Al = 2PI.r.h, onde R é o raio da base, e H é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

At = Al + 2Ab

At = 2PI. r.h +2PI. r²

At = 2 PI.r (h+r)

O vídeo a seguir, vai explicar de forma muito simples e fácil sobre cilindros, então, se você está com alguma dúvida, não deixe de assistir.

Cilindros - Parte 01

CONSTRUÇÃO DE UM CILINDRO

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio R e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.

Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

OBJETOS GEOMÉTRICOS

Em um cilindro podemos identificar vários elementos:

• Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
• Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do cilindro.
• Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contém as bases do cilindro.
• Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
• Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da Superfície Lateral reunido com os pontos das ases do cilindro.
• Área Lateral: É a medida da Superfície Lateral do cilindro.
• Área Total: É a medida da Superfície Total do cilindro.
• Seção Meridiana do Cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro.

CLASSIFICAÇÃO

• Cilindro Circular Reto - As geratrizes são perpendiculares aos planos da base. Esse tipo de cilindro também é chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.
• Cilindro Circular Oblíquo - Apresentas as geratrizes oblíquas em relação aos planos da base.
• Cilindro Equilátero - É um cilindro de revolução, cuja seção meridiana é um quadrado.

Tronco de Pirâmide - Parte 02

Agora vamos ao vídeo para ajudar a fixar o último assunto estudado. Aproveite!

O vídeo acima explica as definições, o volume e os elementos de um tronco de pirâmide.

Já esse segundo vídeo, ensina a determinar a área lateral do tronco de pirâmide.

Tronco de Pirâmide - Parte 01

O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a imagem

O tronco de uma pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho.

É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre si; e a altura de qualquer face lateral é o apótema do tronco.

CÁLCULO DA ÁREA

Num tronco de pirâmide nós temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. De acordo com a base da pirâmide teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide.

A área total do tronco de pirâmide é dada por St = Sl+SB+Sb, onde:
St é a área total,
Sl é a área da superfície lateral,
SB é a área da base maior, e
Sb é a área da base menor.

CÁLCULO DO VOLUME

A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o Volume da pirâmide maior e o Volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. Colocando em função de sua altura e das áreas das bases, o modelo matemático para o cálculo do volume é

Onde,
V é o volume do tronco, 

h é a altura do tronco,

SB é a área da base maior, e

Sb é a área da base menor.

Exercícios sobre Pirâmide e Cones

Para testar seus conhecimentos, que tal resolver algumas questões que já caíram no Vestibular ? Aproveita aí!

01. (PUC - Camp) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede 2√3 cm. O volume dessa pirâmide, em cm³, é

a. 24√3 cm³
b. 36√3 cm³
c. 48√3 cm³
d. 72√3 cm³
e. 144√3 cm ³

Resolução

O volume da pirâmide é V = Ab.h / 3
                                            
Precisamos da área da base para achar o volume.

                                            

Temos na base um hexágono regular, já que a pirâmide é regular. O lado desse hexágono com todos os lados iguais é 2√3 cm e sua área será:

Ab = 6. l²√3

           4

Ab = 6. (2√3)²√3

               4
Ab = 6.4.3√3
             4
Ab = 18√3 cm², Agora fica fácil determinar o volume da pirâmide.

V = 18√3.8
           3
V = 48√3 cm³, letra C.

02. (ITA - SP) A área lateral de uma pirâmide quadrangular retangular de altura 4 m e de área da base 64 m² vale:

a. 128 m²

b. 64√2 m²

c. 135 m²

d. 60√5 m²

e. 32(√2+1) m²

Resolução

Na questão, como a pirâmide é quadrangular, sua base é um quadrado, com área 64 m², já que a área do quadrado é l², e o lado será 8. Perceba que a altura que a questão fornece na pergunta é a altura da pirâmide, para a área lateral precisamos encontrar a altura da face, que é a apótema da pirâmide. Fazendo o teorema de Pitágoras entre a altura do triângulo, a apótema da base e a apótema da pirâmide, encontramos a altura dessa face:

Ap² = 4²+4²

Ap = √32

Ap = 4√2

A área de cada face lateral, será,

A = b.h

        2 

A = 8.4√2

          2
A = 16√2 m².

A área lateral será a soma das áreas de odas as 4 faces laterais, que são iguais,

Al = 4. 16√2
Al = 64√2 m², letra B.

03. Um copo de caldo de cano, no formato de um cone, tem 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Qual a capacidade desse copo ?

Resolução

Ab = π.r² = 3,14.16 = 50,24 cm²

V = 1/3 .50,24.12 = 200,96 cm³

                                           
Como 1 cm³ = 1 mL, concluímos que a capacidade do copo é de aproximadamente 200 mL.

Cones - Parte 03

Como de costume, hoje, vamos mostrar mais um vídeo para fixar melhor tudo o que já foi dito aqui. Aproveitem !

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e nesse caso a medida da geratriz é igual a medida do diâmetro da base.

A área da base do cone e dada por Ab = πr²;

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)² = h²+r², logo, h² = 4r² - r² = 3r², assim, h = r√3;
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então,

V = (1/3)π√3r³;

Como a área lateral pode ser obtida por, Al = π.r.g = π.r.2r = 2π.r²,
Então a área total será dada por, At = 3π.r²

Cones - Parte 02

Bom, hoje daremos continuidade sobre os Cones. Então, como os cones retos são mais usados em aplicações, voltaremos nossa atenção para eles.

OBSERVAÇÕES

Um cone circular reto é denominado cone de revolução e pode ser obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contém o eixo do cone. Na figura acima, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triangulo isósceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se G é a medida da geratriz, então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável do cone: g² = h²+r², que pode ser vista na figura abaixo.

A área lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de G e R, que são respectivamente, medida da geratriz, e raio da base do cone.

Al = π.r.g

A área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de G e R.

At = π.r.g + π.r²

At = π.r (g+r)

Cones - Parte 01

Hoje aprenderemos um novo objeto da Geometria Plana, o Cone.

CONCEITO

Considere uma região plana limitada por uma curva suave, fechada e um P fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num outro ponto qualquer da região.

ELEMENTOS

Em um cone, podem ser identificados vários elementos.

• VÉRTICE de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.
• BASE de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
• EIXO de cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
• GERATRIZ é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
• ALTURA é a distância do vértice do cone ao plano da base.
• SUPERFÍCIE LATERAL de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
• SUPERFÍCIE DO CONE é a reunião da superfície lateral com a base do cone, que é o círculo.
• SEÇÃO MERIDIANA de um cone é a região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contém o eixo do mesmo.

CLASSIFICAÇÃO

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto.

Pirâmides - PARTE 2

O vídeo a seguir consegue dar uma explicada sobre todas as áreas possíveis em uma pirâmide de uma forma bem simples, então, assista o vídeo, que você conseguirá entender tudo o que você ainda não entendeu.

Pirâmide

DEFINIÇÃO

Pirâmide é um poliedro que tem por base um polígono qualquer, e por faces laterais triângulos que tem um vértice em comum. Este ponto é o vértice da pirâmide.

A altura da pirâmide é a perpendicular baixada do vértice sobre o plano da base.

Uma pirâmide pode ser triangular, quadrangular, pentagonal, e etc., conforme a base é triangulo, um quadrado, um pentágono e etc.

Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular, e a sua altura coincide com o centro desse polígono. Em uma pirâmide regular, todas as arestas laterais são iguais, as faces laterais são triângulos isósceles iguais; a altura de cada um desses triângulo se chama o " o apótema da pirâmide"; que não deve ser confundido com o apótema da base.

Questões sobre Prisma

Para fixar o que já foi aprendido sobre prisma, mostraremos agora algumas questões para você tentar resolver, e abaixo estarão as respostas para conferir.

01. (Mackenzie - SP) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m² de área lateral. Seu volume vale

a. 16 m³
b. 32 m ³
c. 64 m³
d. 13√3 m³


02. (UECE) Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 m e 4 m. Se a altura desse prisma é igual á hipotenusa do triângulo da base, então seu volume, em m³, é igual a:

a. 60
b. 30
c. 24
d. 12
e. 18

03. Um base de prisma quadrangular possui volume igual a 192 m³. Determine sua altura sabendo que ela corresponde ao triplo da medida da aresta da base.



Resolução 01

Resolução 02

Primeiramente, devemos calcular a hipotenusa, então:

x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x = √25
x = 5, que será também a altura, agora basta efetuar a Ab.h, na base temos um triangulo, e sua área é b.h/2, então fica;

3.4 = 12 = 6.
 2       2

Já que as bases são iguais, o volume será, 

V = Ab.h
V = 6.5
V = 30 m³


Resolução 03

A aresta da base é X, logo, sua altura é 3X, e o volume é 192.

V = x.x.3x
3x³ = 192
x³ = 192/3
x³ = 64
x = 4, logo,

Altura = 3.4 = 12 cm.

A altura do prisma corresponde a 121 cm.

Prisma - Parte 2

Esse vídeo vai ajudar a todos que estão com alguma dúvida sobre prisma. Ele é bem explicado e resumido. Vale a pena conferir !

Prisma

Prismas são sólidos geométricos que possuem como características:

• bases paralelas iguais;
• arestas paralelas e iguais que se ligam às duas bases.

Os prismas são nomeados pelo número de lados das bases:

Para calcular a área de um prisma, temos que calcular primeiramente a área da base e a área lateral [ para calcular a área lateral, temos que calcular a área de cada face e depois somaremos todos, e assim encontra-se a área lateral ]. Depois de achar as duas áreas, soma-se elas para que possamos encontrar a área total, ou seja, a fórmula da Área Total é At = 2.Ab + Al [ Multiplica-se a área da base por dois, porque tem-se a base de cima e a base de baixo, e precisamos contar todas ]. Para calcular o volume usaremos a seguinte formula V = b.h, onde B é base, e H é altura, que corresponde a aresta lateral do prisma.

Na imagem acima, podemos ver com clareza onde fica a aresta lateral e aresta da base, a face lateral e a base.

O que é Geometria Espacial ?

A geometria espacial estuda os seguintes sólidos geométrico: paralelepípedos, prismas, cubos, pirâmides, cones, cilindros e esferas. O estudo de tal geometria consiste na aplicação de conceitos da geometria em objetos que apresentam três dimensões: comprimento, largura e altura. A geometria espacial aborda o cálculo de áreas, assim como na geometria plana, o cálculo do volume e a compreensão da posição de elementos como reta e plano no espaço tridimensional. Com as ferramentas oferecida por essa geometria podemos compreender e resolver diversas situações cotidianas envolvendo o cálculo de volume e área de sólidos geométricos.