Exercícios - Números Complexos

01 - O produto (5+7i).(3-2i) vale:
a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i

Resposta: (5+7i).(3-2i)15 - 10i + 21i - 14i², sendo que, i² = -1

15 - 10i + 21i + 14, assim,29+11i, alternativa C 

02 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro.

Resposta: Efetuando a multiplicação, temos que: 
z = x + (x+2)i + 2i²
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2.

03 - Sejam os complexos z₁=(2x+1) + yi e z₂=-y + 2i. Determine x e y de modo que z₁ + z₂ = 0

Resposta:Temos que: z₁ + z₂ = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

04 - Sendo z = (m² - 5m + 6) + (m² - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.

Resposta: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m² - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.

05 - Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)¹² .

Resposta: Observe que (1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável 
(1 + i)² = 1² + 2.i + i² = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)² = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
(1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ = (2i)⁶ = 2⁶.i⁶ = 64.(i²)³ = 64.(-1)³ = - 64. 
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a-64.

Exercícios - Esfera

         01 - O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então quanto mede o raio da esfera A?

Resposta:

Va = Vb/8

4πR³/3 = 4π(10)³/3(8)

4πR³ = 4π(10)³/8

R³ = 10³/2³

R = 10/2

 R = 5

     02 - Um plano alfa secciona uma esfera de raio 20cm. A distância do centro da esfera ao plano alfa é 12cm. Calcule a área da secção obtida.

Resposta: devemos aplicar a fórmula de Pitágoras:

20² = 12² + r²

r² + 144 = 400

r² = 256

r = 16 cm

O exercício pede a área da secção, que é um circulo. Logo temos:

16² . π = 256 . π cm²

     03 - Uma secção feita numa esfera por um plano alfa é um círculo de perímetro 2 π cm. A distância do centro da esfera ao plano alfa é 2 raiz de 2 cm. Calcule a medida r do raio da esfera.

Resposta: se o comprimento (ou perímetro do circulo) é igual a 2 . π, então:

raio( r ) 2 . π . r = 2 . π

r = 1cm

Calculamos o raio da secção. Agora para calcular o raio ( R ) da esfera, devemos usar o teorema de Pitágoras relacionando o raio da secção, raio da esfera e a distância entre o centro da esfera e o plano alfa que secciona a esfera.

R² = 1² + (2 . raiz de 2)²

R² = 1 + 4 . 2

R² = 9

R = 3 cm

04 - Qual o volume de uma esfera cujo raio mede ³√3 cm ?

Resposta: V=4/3.

 π.R³

V = 4/3. 

 π. (

³√3)³, logo, corta-se raiz com potência, e o três.

V = 4π cm³

05 - Qual a área da superfície esférica cujo o raio mede √3m ?

Resposta: Ase = 4.π.R²

Ase = 4.π.(√3

)²

Ase = 4.

π.3

Ase = 12

π

Exercícios 02

01. Se o apótema de uma pirâmide mede 17m e o apótema da base mede 8m, qual é a altura da pirâmide?

02. Calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular que tem 12cm de altura e 40cm de perímetro da base.

03. Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que sua altura mede 24cm e que o apótema da pirâmide mede 26cm?

04. A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4m e de área da base 64m² vale:

05. Uma pirâmide quadrada tem todas  as arestas medindo 2. A altura mede:

06. As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:

Exercícios

1. Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em progressão aritmética, eles valem:

2. O volume de um paralelepípedo retângulo é 1620 m³. Calcular as arestas sabendo que estas são proporcionais aos números 3, 4 e 5.

3. Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m. Um individuo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075m. Então o volume do individuo , em litros, é:

4. As projeções ortogonais de um cilindro sobre dois planos perpendiculares são, respectivamente, um circulo e um quadrado. Se o lado do quadrado é 10, qual o volume do cilindro?

5. Uma fábrica de tintas está estudando novas embalagens para o seu produto, comercializado em latas cilíndricas cuja circunferência mede 10π cm.  As latas serão distribuídas em caixas de papelão ondulado, dispostas verticalmente sobre a base da caixa, numa única camada. Numa caixa de base retangular medindo 25cm por 45cm, quantas latas caberiam?

6. Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6cm desse eixo, apresenta secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é:

Exercícios sobre Pirâmide e Cones

Para testar seus conhecimentos, que tal resolver algumas questões que já caíram no Vestibular ? Aproveita aí!

01. (PUC - Camp) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede 2√3 cm. O volume dessa pirâmide, em cm³, é

a. 24√3 cm³
b. 36√3 cm³
c. 48√3 cm³
d. 72√3 cm³
e. 144√3 cm ³

Resolução

O volume da pirâmide é V = Ab.h / 3
                                            
Precisamos da área da base para achar o volume.

                                            

Temos na base um hexágono regular, já que a pirâmide é regular. O lado desse hexágono com todos os lados iguais é 2√3 cm e sua área será:

Ab = 6. l²√3

           4

Ab = 6. (2√3)²√3

               4
Ab = 6.4.3√3
             4
Ab = 18√3 cm², Agora fica fácil determinar o volume da pirâmide.

V = 18√3.8
           3
V = 48√3 cm³, letra C.

02. (ITA - SP) A área lateral de uma pirâmide quadrangular retangular de altura 4 m e de área da base 64 m² vale:

a. 128 m²

b. 64√2 m²

c. 135 m²

d. 60√5 m²

e. 32(√2+1) m²

Resolução

Na questão, como a pirâmide é quadrangular, sua base é um quadrado, com área 64 m², já que a área do quadrado é l², e o lado será 8. Perceba que a altura que a questão fornece na pergunta é a altura da pirâmide, para a área lateral precisamos encontrar a altura da face, que é a apótema da pirâmide. Fazendo o teorema de Pitágoras entre a altura do triângulo, a apótema da base e a apótema da pirâmide, encontramos a altura dessa face:

Ap² = 4²+4²

Ap = √32

Ap = 4√2

A área de cada face lateral, será,

A = b.h

        2 

A = 8.4√2

          2
A = 16√2 m².

A área lateral será a soma das áreas de odas as 4 faces laterais, que são iguais,

Al = 4. 16√2
Al = 64√2 m², letra B.

03. Um copo de caldo de cano, no formato de um cone, tem 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Qual a capacidade desse copo ?

Resolução

Ab = π.r² = 3,14.16 = 50,24 cm²

V = 1/3 .50,24.12 = 200,96 cm³

                                           
Como 1 cm³ = 1 mL, concluímos que a capacidade do copo é de aproximadamente 200 mL.

Questões sobre Prisma

Para fixar o que já foi aprendido sobre prisma, mostraremos agora algumas questões para você tentar resolver, e abaixo estarão as respostas para conferir.

01. (Mackenzie - SP) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m² de área lateral. Seu volume vale

a. 16 m³
b. 32 m ³
c. 64 m³
d. 13√3 m³


02. (UECE) Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 m e 4 m. Se a altura desse prisma é igual á hipotenusa do triângulo da base, então seu volume, em m³, é igual a:

a. 60
b. 30
c. 24
d. 12
e. 18

03. Um base de prisma quadrangular possui volume igual a 192 m³. Determine sua altura sabendo que ela corresponde ao triplo da medida da aresta da base.



Resolução 01

Resolução 02

Primeiramente, devemos calcular a hipotenusa, então:

x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x = √25
x = 5, que será também a altura, agora basta efetuar a Ab.h, na base temos um triangulo, e sua área é b.h/2, então fica;

3.4 = 12 = 6.
 2       2

Já que as bases são iguais, o volume será, 

V = Ab.h
V = 6.5
V = 30 m³


Resolução 03

A aresta da base é X, logo, sua altura é 3X, e o volume é 192.

V = x.x.3x
3x³ = 192
x³ = 192/3
x³ = 64
x = 4, logo,

Altura = 3.4 = 12 cm.

A altura do prisma corresponde a 121 cm.