Números Complexos - A origem de i² = - 1

No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i² = – 1. 

A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações do 2º grau com raízes quadradas negativas, o que é um erro. A origem da expressão i² = – 1 aparece na definição de números complexos, outro assunto que também gera muita dúvida. Vamos compreender o motivo de tal igualdade e como ela surge.

Primeiro, faremos algumas definições.

1. Um par ordenado de números reais (x, y) é chamado de número complexo.

2. Os números complexos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) são iguais se, e somente se, x₁ = x₂ e y₁ = y₂.

3. A adição e a multiplicação de números complexos são definidas por:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂ ,  y₁ + y₂)

(x₁, y₁)*(x₂, y₂) = (x₁*x₂ – y₁*y₂ ,  x₁*y₂ + y₁*x₂)

Exemplo 1. Considere z₁ = (3, 4) e z₂ = (2, 5), calcule z₁ + z₂ e z₁*z₂.

Solução:

z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)

z₁*z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)

Utilizando a terceira definição fica fácil mostrar que:

(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x₁ + x₂, 0)

(x₁ , 0)*(x₂, 0) = (x₁*x₂, 0)

Essas igualdades mostram que no que diz respeito às operações de adição e multiplicação, os números complexos (x, y) se comportam como números reais. Nesse contexto, podemos estabelecer a seguinte relação: (x, 0) = x.

Usando essa relação e o símbolo i para representar o número complexo (0, 1), podemos escrever qualquer número complexo (x, y) da seguinte forma:

(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → que é a chamada de forma normal de um número complexo.

Assim, o número complexo (3, 4) na forma normal fica 3 + 4i.