Plano de Argand Gaus

A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginário. 
A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos de imagem ou afixo de z. Observe a representação da interpretação geométrica dos números complexos: 

Atualmente, o plano dos números complexos é conhecido como plano de Argand-Gauss. 

Com base no plano representado vamos calcular a distância p (letra grega rô), entre os pontos O e P. Observe que basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, dessa forma temos:

O módulo de z é representado pela grandeza p, mas também pode ser representado por |z|. 

A ângulo Ө (0 ≤ Ө < 2π), formado pelo eixo real e a reta do segmento OP, é chamado de argumento de z (z ≠ 0) e é indicado por Arg(z). Baseado nessas definições podemos estabelecer as seguintes relações na interpretação geométrica dos complexos: 

Exemplo
Calcule o módulo e o argumento do número complexo z = 1 + 2i. 

Módulo 
a = 1 e b = 2 

Argumento
Ө = Arg(z)

Portanto, o argumento de z é o arco cuja tangente é 2.           

Veja como ficaria o gráfico representativo do número complexo z = 1 + 2i.