Esfera

Hoje estudaremos sobre Esfera. Antes, postarei esse vídeo para que fique mais fácil a compreensão sobre o assunto! Aproveitem!

Números Complexos - Formas Trigonométricas

Sabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z. Por exemplo, para o número complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im(z) = 5. Os números complexos também possuem uma forma trigonométrica ou polar, que será demonstrada com base no argumento de z (para z ≠ 0). 

Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que:cosӨ = a/p e senӨ = b/p. Essa relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe: 

cosӨ = a/p → a = p*cosӨ 

senӨ = b/p → b = p*senӨ 

Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi. 

z = p*cosӨ + p*senӨi → z = p*( cosӨ + i*senӨ) 

Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e radiciações. 

Exemplo 1 

Represente o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica. 

Resolução: 

Temos que a = 1 e b = 1 

Números Complexos - Forma Algébrica

Os números complexos são formados por um par ordenado (a, b) onde os valores de a estão situados no eixo x (abscissa) e os valores de b no eixo y (ordenadas). Sobre o eixo x marcamos os pontos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os pontos relacionados à parte imaginária.
Sendo P o ponto de coordenadas (a, b), a forma algébrica pela qual representaremos um número complexo será a + bi, como a e b Є R. 
A forma algébrica de representar um número complexo é mais prática e mais utilizada nos cálculos. 

Definindo as partes que formam um número complexo z = a + bi. 

z é um número complexo qualquer.
a é a parte real do número complexo z.
b é a parte imaginária do número complexo z. 
O conjunto dos números que formam a parte real é representado por Re (z). 
O conjunto dos números que formam a parte imaginária é representado por Im (z). 

Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo: 

z = - 3 + 5i 
Re(z) = -3 
Im(z) = 5 

z = -5 + 10i 
Re(z) = -5 
Im(z) = 10 

z = 1/2 + (1/3)i 
Re(z) = 1/2 
Im(z) = 1/3 

As coordenadas a e b podem assumir qualquer valor real, dependendo do valor que eles assumirem o número complexo irá receber um nome diferente: 
Quando a e b forem diferentes de zero dizemos que o número complexo é imaginário: 
z = 2 + 5i 

Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo é imaginário puro: 
z = 0 + 2i 
z = 2i 

Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o número complexo será real. 
z = 5 – 0i 
z = 5 

Exemplos: 

Determine o valor de k para que z =(k-6) + 7i, seja: 
Número Real Para que o complexo seja um número real devemos fazer b = 0 e a ≠ 0. 
k – 6 ≠ 0 
então: k ≠ 6 

Imaginário puro
Para que um número complexo seja imaginário puro a = 0 e b ≠ 0, então podemos dizer que: 
k – 6 = 0 
então: k = 6 

Operações com Números Complexos - Divisão

Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como: 

Dado dois números complexos z₁ e z₂, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a seguinte regra: 

z₁ : z₂ = z₁  .  

               z₂     

De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por: 

Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será: 

Operações com Números Complexos - Subtração e Multiplicação

Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2

(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)

4 + 5i + 1 – 3i

4 + 1 + 5i – 3i

5 + (5 – 3)i

5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2

(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2

ac + adi + bci + bd (-1)

ac + adi + bci – bd

ac - bd + adi + bci

(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)I.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)

5 . 2 – 5i + 2i – i² 

10 – 5i + 2i + 1

10 + 1 – 5i + 2i

11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

Operações com Números Complexos - Adição

Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2

(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)

6 + 5i + 2 – i

6 + 2 + 5i – i

8 + (5 – 1)i

8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Números Complexos - A origem de i² = - 1

No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i² = – 1. 

A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações do 2º grau com raízes quadradas negativas, o que é um erro. A origem da expressão i² = – 1 aparece na definição de números complexos, outro assunto que também gera muita dúvida. Vamos compreender o motivo de tal igualdade e como ela surge.

Primeiro, faremos algumas definições.

1. Um par ordenado de números reais (x, y) é chamado de número complexo.

2. Os números complexos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) são iguais se, e somente se, x₁ = x₂ e y₁ = y₂.

3. A adição e a multiplicação de números complexos são definidas por:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂ ,  y₁ + y₂)

(x₁, y₁)*(x₂, y₂) = (x₁*x₂ – y₁*y₂ ,  x₁*y₂ + y₁*x₂)

Exemplo 1. Considere z₁ = (3, 4) e z₂ = (2, 5), calcule z₁ + z₂ e z₁*z₂.

Solução:

z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)

z₁*z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)

Utilizando a terceira definição fica fácil mostrar que:

(x₁, 0) + (x₂, 0) = (x₁ + x₂, 0)

(x₁ , 0)*(x₂, 0) = (x₁*x₂, 0)

Essas igualdades mostram que no que diz respeito às operações de adição e multiplicação, os números complexos (x, y) se comportam como números reais. Nesse contexto, podemos estabelecer a seguinte relação: (x, 0) = x.

Usando essa relação e o símbolo i para representar o número complexo (0, 1), podemos escrever qualquer número complexo (x, y) da seguinte forma:

(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → que é a chamada de forma normal de um número complexo.

Assim, o número complexo (3, 4) na forma normal fica 3 + 4i.